Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)（）．

（1）若為函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；

（2）若，

已知，，若直線、及直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如陰影部分所示，求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的最小值；

證明不等式：．

Answer 1

（1），（2）（ⅰ），（ⅱ）證明見解析，

【解析】

試題分析：首先利用為極值點(diǎn)，則，求出；由于與的交點(diǎn)為，所以封閉圖形的面積可用兩個(gè)積分的和求出，設(shè)面積為對求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值；最后把求出的面積最小值代入所證不等式整理分析，把看成未知數(shù)構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，就可以證明出本題結(jié)論；

試題解析：（1），

，又為極值點(diǎn)，，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以；

（2）（�。�

，設(shè)

所以，又，所以當(dāng)時(shí)，

單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，

，

(ⅱ)要證明，

令，

，則在遞減，又

，；

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用