Question

18．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．
（1）求三棱錐P-ABC的體積；
（2）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得AC⊥BM，并求$\frac{PM}{MC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PA，求三棱錐P-ABC的體積；
（2）過(guò)B作BN⊥AC，垂足為N，過(guò)N作MN∥PA，交PC于點(diǎn)M，連接BM，證明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求$\frac{PM}{MC}$的值．

解答 （1）解：由題設(shè)，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
因?yàn)镻A⊥平面ABC，PA=1，
所以V_P-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•PA=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）解：過(guò)B作BN⊥AC，垂足為N，過(guò)N作MN∥PA，交PC于點(diǎn)M，連接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因?yàn)锽N∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因?yàn)锽M?平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
從而NC=AC-AN=$\frac{3}{2}$．
由MN∥PA得$\frac{PM}{MC}$=$\frac{AN}{NC}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐P-ABC的體積的計(jì)算，考查線面垂直的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．