Question

 

    已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離．

    （Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程;

    （Ⅱ）若直線與曲線交于兩點(diǎn),且,又點(diǎn),求的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解】（Ⅰ）依題知動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),以直線為準(zhǔn)線的拋物線,……1分

       所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為 …………………………4分

（Ⅱ）設(shè),則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012040911563868755828/SYS201204091158046875202229_DA.files/image007.gif">,所以

即（※）………………………6分

又設(shè)直線,代入拋物線的方程得,

所以,且…………………8分

也所以,

所以（※）式可化為,,

即 ,得,或………………… ……10分

此時恒成立．

又,且,

所以

由二次函數(shù)單調(diào)性可知,當(dāng)時,有最小值．……… ……13分

〖二法〗設(shè),則

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012040911563868755828/SYS201204091158046875202229_DA.files/image007.gif">,所以

即（※）………………………6分

（i）若直線斜率不存在時,則,

    代入（※）式得,又,

    所以,即,

    所以

    …………………9分

    （ii）當(dāng)直線斜率存時,設(shè)直線,

代入拋物線方程消去得,

所以,且……………10分

所以,

所以（※）式可化為

即,或……………12分

又,知恒成立．（）

,且,

所以

由二次函數(shù)單調(diào)性可知

綜上（i）（ii）知, 有最小值．…………………………13分