Question

13．將邊長為a的正方形白鐵皮，在它的四角各剪去一個小正方形（剪去的四個小正方形全等）然后彎折成一只無蓋的盒子，問：剪去的小正方形邊長為多少時，制成的盒子容積最大？

Answer 1

分析 首先由題意建立起無蓋鐵盒的體積函數(shù)，變形成為（a-2x）•（a-2x）•4x，分析得到其“和”是定值，聯(lián)想到利用基本不等式求最值，即可得出結(jié)論

解答 解：設(shè)剪去的小正方形的邊長為x，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），則無蓋鐵盒體積V=（a-2x）²•x．
所以：V=（a-2x）²•x=$\frac{1}{4}$（a-2x）•（a-2x）•4x≤$\frac{1}{4}•[\frac{（a-2x）+（a-2x）+4x}{3}]^{3}$=$\frac{2}{27}{a}^{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a-2x=4x時，即x=$\frac{a}{6}$時取得最大值$\frac{2}{27}{a}^{3}$．

點評 此題主要考查利用基本不等式求最值在實際問題中的應(yīng)用．前提是“一正二定三相等”，需通過變形技巧，得到“和”或“積”為定值的情形．然后應(yīng)用不等式即可．