Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．
（1）求a_n．
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．n=1時，可得a₂=2．n≥2時，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，因此數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比為2．即可得出．
（2）對n分類討論，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ．
∴n=1時，${a}_{2}•{a}_{1}={2}^{1}$，解得a₂=2．
n≥2時，$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}$=2，
∴數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等比數(shù)列，公比為2．
∴a_n=a_2k-1=2^k-1=${2}^{\frac{n-1}{2}}$；
a_n=a_2k=2×2^k-1=2^k=${2}^{\frac{n}{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{\frac{n-1}{2}}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，
數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（a₂+a₄+…+a_2k）
=$\frac{{2}^{k}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$=3（2^k-1）=$3（{2}^{\frac{n}{2}}-1）$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，S_n=S_n-1+a_n=$3（{2}^{\frac{n-1}{2}}-1）$+${2}^{\frac{n-1}{2}}$=${2}^{\frac{n+3}{2}}$-3．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{3（{2}^{\frac{n}{2}}-1），n為偶數(shù)}\\{{2}^{\frac{n+3}{2}}-3，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．