Question

9．已知a₁=1，a_n+1=2a_n+1，c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，求證：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析 由題意可得數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得a_n，代入c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$后整理，然后利用裂項(xiàng)相消法求和證得答案．

解答 證明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，∴a₁+1=1+1=2≠0，
則數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，${a}_{n}={2}^{n}-1$．
∴c_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
則c₁+c₂+…+c_n =$（\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）+（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）+…+$$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{{2}^{1}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}=1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}＜1$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，是中檔題．