Question

已知函數(shù).

（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，求在上的最大值；

（3）試證明：對任意，不等式都成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）在上的最大值為；

（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0，即可求得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． （2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分時，時，三種情況進(jìn)行討論，即可求在上的最大值；(3) 把證明過程轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可.

試題解析：（1）【解析】
（1）函數(shù)的定義域是．由已知．令，得．

因為當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可知當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以．

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以．當(dāng)，即時，．綜上所述，

（3）由（1）知當(dāng)時．所以在時恒有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．因此對任意恒有．因為，，所以，即．因此對任意，不等式．

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、恒成立問題.