Question

【題目】在四棱錐中中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，底面為直角梯形，，，，．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）取的中點(diǎn)為，連接，由是等邊三角形可得，再由底面為直角梯形，結(jié)合已知的邊長(zhǎng)可證得，于是得平面，從而證得結(jié)果；

（2）由條件可得可知兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求出二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以．

因?yàn)樵谥苯翘菪?/span>中，，，，所以

所以為等腰三角形，所以

因?yàn)?/span>，所以平面

因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）解：因?yàn)?/span>，，為正三角形的邊上的高，所以．

因?yàn)?/span>，所以，由（1）可知兩兩垂直．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，，，

則，，

設(shè)平面的法向量為

則,即令得．

設(shè)平面的法向量為

則,即令，則

因?yàn)槎�面�?/span>為銳二面角，所以其余弦值為．