Question

【題目】已知.

（1）當時，求證：；

（2）若有三個零點時，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）令，，，利用導數(shù)可得在上單調遞減，，從而可得結論; （2）有三個零點等價于有三個零點，當時，當時，可得是單調函數(shù)，至多有一個零點，不符合題意，當時，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性，結合函數(shù)圖象可得的范圍是.

詳解：（1）證明：，

令，，，

，

在上單調遞減，，

所以原命題成立.

（2）由 有三個零點可得

有三個零點，

，

①當時，恒成立，可得至多有一個零點，不符合題意；

②當時，恒成立，可得至多有一個零點，不符合題意；

③當時，記得兩個零點為，，不妨設，且，

時，；時，；時，

觀察可得，且，

當時，；單調遞增，

所以有，即，

時，，單調遞減，

時，單調遞減，

由（1）知，，且，所以在上有一個零點，

由，且，所以在上有一個零點，

綜上可知有三個零點，

即有三個零點，

所求的范圍是.