Question

11．已知點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（m，0），△ABC的面積為5．
（1）求m的值；
（2）若m＞0，∠BAC的平分線交線段BC于D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意利用兩點(diǎn)式求出AB的方程，利用三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離公式，求得m的值．
（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算求得a、b的值，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（2，2），B（3，4），C（m，0），設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，
則|AB|=$\sqrt{{（3-2）}^{2}{+（4-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB直線的方程為$\frac{y-2}{4-2}$=$\frac{x-2}{3-2}$，即2x-y-2=0，
∴d=$\frac{|2m-0-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$．
由于△ABC的面積為 $\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{5}$•$\frac{2|m|}{\sqrt{5}}$=5，∴m=±5．
（2）若m＞0，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，0），設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，b），
由三角形內(nèi)角平分線的性值可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}$，即$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{{（5-2）}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{DC}}$，即$\sqrt{5}$$\overrightarrow{DC}$=$\sqrt{13}$$\overrightarrow{BD}$，
即 $\sqrt{5}$（5-a，-b）=$\sqrt{13}$（a-3，b-4），∴5$\sqrt{5}$-$\sqrt{5}$a=$\sqrt{13}$a-3$\sqrt{13}$，且-$\sqrt{5}$b=$\sqrt{13}$b-4$\sqrt{13}$，
求得a=$\frac{5\sqrt{5}+3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$，b=$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a$\frac{5\sqrt{5}+3\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$，$\frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{5}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查用兩點(diǎn)式求直線的方程，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．