Question

18．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤16}\end{array}\right.$，則z=x²+6x+y²+8y+25的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{121}{2}$，81]
• B． [$\frac{121}{2}$，73]
• C． [65，73]
• D． [65，81]

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由z=x²+6x+y²+8y+25=（x+3）²+（y+4）²的幾何意義，即可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（-3，-4）距離的平方求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥4}\\{{x}^{2}+{y}^{2}≤16}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

z=x²+6x+y²+8y+25=（x+3）²+（y+4）²，
其幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)P（-3，-4）距離的平方，
由P（-3，-4）到直線x+y=4的距離d=$\frac{|-3-4-4|}{\sqrt{2}}=\frac{11}{\sqrt{2}}$，|OP|=5，
∴P到可行域內(nèi)點(diǎn)距離的最小值為$\frac{11}{\sqrt{2}}$，最大值為9，
則z的取值范圍為[$\frac{121}{2}，81$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．