Question

【題目】如圖幾何體中，等邊三角形所在平面垂直于矩形所在平面，又知，//.

（1）若的中點(diǎn)為，在線段上，//平面，求；

（2）若平面與平面所成二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值；

（3）若中點(diǎn)為，，求在平面上的正投影。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）在平面上的正投影為.

【解析】

（1）設(shè)的中點(diǎn)，可得四點(diǎn)共面，從而可證得，即得，即可得解；

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，可證得兩兩垂直，設(shè)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量計(jì)算二面角列方程可得，從而再利用空間向量建立線面角的公式求解即可；

（3）由平面，可證得，再通過勾股定理在中，可證得，進(jìn)而可找到在平面上的正投影為.

(1)設(shè)的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>；

所以四點(diǎn)共面，

又因?yàn)?/span>平面，面，平面平面

所以；

所以.

(2)設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接；因?yàn)?/span>為等邊三角形，所以

又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，

所以面

設(shè)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

，，，，

則，

設(shè)為平面的法向量，

則，；得，，

所以.

同理得平面的法向量

所以，，

所以

又因?yàn)?/span>，所以

(3)由(2)知易證：平面，所以

又因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)樵?/span>中， ，，，

所以，

所以平面，所以在平面上的正投影為.