Question

如圖所示：一塊橢圓形狀的鐵板的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4米，短軸長(zhǎng)為2米．

（1）若利用這塊橢圓鐵板截取矩形，要求矩形的

 四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓鐵板的邊緣，求所能截取

的矩形面積的最大值；

（2）若以短軸的端點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，另外兩個(gè)銳

角的頂點(diǎn)、都在橢圓鐵板的邊緣，切割

等腰直角三角形，則在不同的切割方案中，

共能切割出幾個(gè)面積不同的等腰直角三角形？

最大面積是多少？（結(jié)果保留一位小數(shù)）

Answer 1

解：（1）建系（略），得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-設(shè)矩形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為   

-當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

（2）設(shè)所在的直線方程為：，則所在的直線方程為：---2分

將所在的直線方程代入橢圓方程，得

可求得，   

同理可求得，

不妨設(shè)，令，得，

即，

解得，或．        

當(dāng)時(shí)，所截取等腰直角三角形面積為2.6平方米；

當(dāng)時(shí)，所截取等腰直角三角形面積為2.1平方米．

所以，切割出的等腰直角三角形的最大面積約2.6平方米．