Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，點是的中點，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明證得平面，由此證得平面平面.

（2）解法一：利用等體積法計算出點到平面的距離；解法二：在平面內，過作，證得就是點到平面的距離，利用等面積法求得點到平面的距離.

（1）證明：∵平面，平面，∴，

∵，是的的中點，∴，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）解法一∵平面，∴是三棱錐的高，

且，

由（1）及已知得是腰長為1的等腰直角三角形，

，

∴，

又，所以，

由（1）得平面，平面，∴，

∴，設點到平面的距離為，

由，得，

∴因此，點到平面的距離為.

解法二：由（1）平面平面，平面平面，

在平面內，過作，則平面，故就是點到平面的距離，

∵平面，∴在中，.

利用等面積得，

因此，點到平面的距離為.