Question

6．函數(shù)f（x）=2log₂（x²+1）（x＜-1）的反函數(shù)f^-1（x）=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2）．

Answer 1

分析 先確定原函數(shù)的值域，即為其反函數(shù)的定義域，再根據(jù)原函數(shù)的解析式求反函數(shù)的表達(dá)式．

解答 解：y=f（x）=2log₂（x²+1），當(dāng)x＜-1時，y＞2，
且log₂（x²+1）=$\frac{y}{2}$，
∴x²+1=${2}^{\frac{y}{2}}$，即x²=${2}^{\frac{y}{2}}$-1，
∵x＜-1，∴x=-$\sqrt{{2}^{\frac{y}{2}}-1}$，
再將x，y互換得，y=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$，
其中，x＞2，所以，f^-1（x）=-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2），
故答案為：-$\sqrt{{2}^{\frac{x}{2}}-1}$（x＞2）．

點評 本題主要考查了反函數(shù)的求法，涉及原函數(shù)與反函數(shù)定義域與值域間的關(guān)系，對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．