Question

數列{a_n}中，a₁=1，a₂=2．數列{b_n}滿足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
（1）若數列{a_n}是等差數列，求數列{b_n}的前6項和S₆；
（2）若數列{b_n}是公差為2的等差數列，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}是等差數列，a₁=1，a₂=2，可得a_n=n，由此求得 數列{b_n}的前6項，即可得到數列{b_n}的前6項和S₆ 的值．
（2）由題意可得 b_n =2n-1，故有b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1，相減可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，a_2n+3=a_2n-1，求得a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1，由此得到數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是等差數列，a₁=1，a₂=2，∴a_n=n．再由數列{b_n}滿足bn=an+1+(-1)nan，n∈N₊．
可得 b₁=b₃=b₅=1，b₂=5，b₄=9，b₆=13，∴數列{b_n}的前6項和S₆=30．
（2）∵數列{b_n}是公差為2的等差數列，b₁=a₂-a₁=1，∴b_n =2n-1．
再由bn=an+1+(-1)nan可得b_2n-1=a_2n-a_2n-1=4n-3，b_2n=a_2n+1+a_2n=4n-1．
相減可得 a_2n+1+a_2n-1=2，a_2n+3+a_2n+1=2，∴a_2n+3=a_2n-1．
∵a₁=1，a₃=1，∴a_4n-3=a₁=1，a_4n-1=a₃=1．
∴a_n=

1  ， n為奇數 2n-2 ， n為偶數

．

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，根據遞推關系求通項，屬于難題．