Question

4．求證：函數(shù)f（x）=1og₂$\frac{x}{1-x}$在（0，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，（0，1）內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算，可以得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}$，容易說(shuō)明$0＜\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜1$，從而可以證明出f（x₁）＜f（x₂），從而得出函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

解答 證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}}{1-{x}_{1}}-lo{g}_{2}\frac{{x}_{2}}{1-{x}_{2}}$=$lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}$；
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴$0＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＜1$，0＜1-x₂＜1-x₁＜1，$0＜\frac{1-{x}_{2}}{1-{x}_{1}}＜1$；
∴$0＜\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜1$；
∴$lo{g}_{2}\frac{{x}_{1}（1-{x}_{2}）}{{x}_{2}（1-{x}_{1}）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過(guò)程，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．