Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)排水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線排水管，在路南側(cè)沿直線排水管（假設(shè)水管與公路的南，北側(cè)在一條直線上且水管的大小看作為一條直線），現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線EF將與接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路兩側(cè)排管費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分的排管費用為每米2萬元，設(shè)EF與AB所成角為．矩形區(qū)域內(nèi)的排管費用為W．

（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求W的最小值及相應(yīng)的角．

Answer 1

（1）；（2），.

解析試題分析：（1）過E作，垂足為，然后將用，再根據(jù)題意列出W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，化簡即得；（2）設(shè)，，再對其求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)確定在的單調(diào)性，從而得到該函數(shù)的最大值以及取得最大值時相應(yīng)的角，代入中，即得到W的最小值.
試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為，由題意得，
故有，， ，
所以W=.
即 .  6分

（2）設(shè)，
則．
令得，即，得．
列表

	+	0	-
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應(yīng)的角．  13分
考點：1.三角函數(shù)；2.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.利用單調(diào)性求最值.