Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），其前n項(xiàng)和為S_n．若數(shù)列{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列，且G_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，請(qǐng)證明數(shù)列{a_n²}也是等比數(shù)列，并求$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$的解析式．

Answer 1

分析 通過(guò)數(shù)列{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列可知a_n=a•q^n-1，利用$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=q²可知數(shù)列{a_n²}是以a²為首項(xiàng)、q²為公比的等比數(shù)列；分q是否為1兩種情況分別計(jì)算出兩個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 證明：∵數(shù)列{a_n}是一個(gè)首項(xiàng)為a，公比為q的等比數(shù)列，
∴a_n=a•q^n-1，當(dāng)q≠1時(shí)S_n=$\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}$、當(dāng)q=1時(shí)S_n=na，
∴${{a}_{n}}^{2}$=a²•q^2n-2，
又∵$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}•{q}^{2（n+1）-2}}{{a}^{2}•{q}^{2n-2}}$=q²，
∴數(shù)列{a_n²}是以a²為首項(xiàng)、q²為公比的等比數(shù)列；
∴當(dāng)q≠1時(shí)G_n=$\frac{{a}^{2}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$、當(dāng)q=1時(shí)G_n=na²，
∴當(dāng)q≠1時(shí)，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\frac{\frac{a（1-{q}^{n}）}{1-q}}{\frac{{a}^{2}（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}}$=$\frac{1+q}{a（1+{q}^{n}）}$；
當(dāng)q=1時(shí)，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\frac{na}{n{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$；
綜上所述，$\frac{{S}_{n}}{{G}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}，}&{q=1}\\{\frac{1+q}{a（1+{q}^{n}）}，}&{q≠1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的判定及其性質(zhì)，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．