Question

11．已知x≤-$\frac{1}{2}$，則二元函數(shù)f（x，y）=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$的最小值是$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值為$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$，$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$的最小值為$\frac{\sqrt{13}}{2}$，f（x，y）_min=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$的最小值，利用幾何意義及對稱，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值為$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$，$\sqrt{{x}^{2}-2x+2}$的最小值為$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∴f（x，y）_min=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$的最小值
設(shè)f（y）=$\sqrt{\frac{1}{4}+{y}^{2}}$+$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$=$\sqrt{（y-0）^{2}+（0-\frac{1}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（y-1）^{2}+（0-2）^{2}}$，
表示（0，y）與（$\frac{1}{2}$，0），（2，1）的距離的和，取（2，1）關(guān)于y軸的對稱點（-2，1）與（$\frac{1}{2}$，0）的距離為$\frac{\sqrt{26}}{2}$，此時y=$\frac{1}{5}$，
∴f（x，y）_min=$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{26}}{2}$+$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最小值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．