Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，證明：；

（2）討論函數(shù)極值點的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）依題意，，故原不等式可化為，記，對函數(shù)求導，得出的單調(diào)性，即可證明不等式成立；（2）對函數(shù)求導，記，對函數(shù)記再求導，然后對進行分類討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的極值點的個數(shù).

試題解析：

（1）依題意，，故原不等式可化為，因為，只要證.

記，則.

當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.

∴，即，原不等式成立.

（2）.

記

（ⅰ）當時，，在上單調(diào)遞增，，.

∴存在唯一，且當時，；當.

①若，即時，對任意，此時在上單調(diào)遞增，無極值點；

②若，即時，此時當或時，.即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減；此時有一個極大值點和一個極小值點；

③若，即時，此時當或時，.即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減：此時有一個極大值點和一個極小值點.

（ⅱ）當時，，所以，顯然在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時有一個極小值點，無極大值點.

（ⅲ）當時，由（1）可知，對任意，從而，而對任意.

∴對任意.

此時令，得；令，得.

∴在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時有一個極小值點，無極大值點.

（ⅳ）當時，由（1）可知，對任意，當且僅當時取等號.

此時令，得；令得.

∴在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；此時有一個極小值點，無極大值點.

綜上可得：①當或時，有兩個極值點；

②當時，無極值點；

③當時，有一個極值點.