Question

15．已知{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=1，a₁+a₂=$\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）當q=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）在a₁和a_n+1之間插入n個數(shù)，其中n=1，2，3，…，使這n+2個數(shù)成等差數(shù)列．記插入的n個數(shù)的和為S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比數(shù)列通項公式能求出公比q．
（Ⅱ）由${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，得S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，由S_n-1-S_n=$\frac{5}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•\frac{2-n}{3}$，從而S₁＜S₂，S₂=S₃，S₃＞S₄＞S₅＞…由此能求出S_n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，a₁=1，a₁+a₂=$\frac{5}{3}$，
∴$1+1×q=\frac{5}{3}$，解得q=$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）${a}_{n}={a}_{1}{q}^{n-1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}+{a}_{n+1}=（\frac{2}{3}）^{n-1}+（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{5}{3}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
依題意得S_n=$\frac{n（{a}_{n}+{a}_{n+1}）}{2}$=$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∵S_n-1-S_n=$\frac{5（n+1）}{6}•（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{5n}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{5}{6}•（\frac{2}{3}）^{n-1}•\frac{2-n}{3}$．
∴S₁＜S₂，S₂=S₃，S₃＞S₄＞S₅＞…
∴S_n的最大值為S₂=S₃=$\frac{10}{9}$．

點評 本題考查等比數(shù)列的公比的求法，考查等差數(shù)列的前n項和的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質的合理運用．