Question

13．有下列命題：
①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對稱；
③關(guān)于x的方程ax²-2x+a=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，則a=±1；
④滿足條件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一個(gè)．
其中真命題的序號是①④．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱性，可判斷①；分析出函數(shù)對稱中心坐標(biāo)，可判斷②；根據(jù)一元一次方程也只有一個(gè)實(shí)根，可判斷③；判斷三角形解的個(gè)數(shù)，可判斷④．

解答 解：①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）=$\frac{1}{2}$cos2x，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，y取最小值，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{2}$對稱，故正確；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1的圖象由y=$\frac{4}{x}$的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位得到，故關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱，故錯誤；
③關(guān)于x的方程ax²-2x+a=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，則a=±1，或a=0，故錯誤；
④AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1時(shí)，sin∠C=$\frac{1}{2}$且∠C＜∠B，此時(shí)三角形只有一解，故正確．
故正確的命題有：①④，
故答案為：①④

點(diǎn)評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的對稱性，類一元二次方程根的個(gè)數(shù)，解三角形等知識點(diǎn)，難度中檔．