Question

4．設函數f（x）=min$\left\{{2\sqrt{x}，|x-2|}\right\}$其中min$\{a，b\}=\left\{\begin{array}{l}a，a≤b\\ b，b≤a\end{array}$，若動直線y=m與函數y=f（x）的圖象有三個交點，它們的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的范圍為（4，8-2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由f（x）表達式作出函數f（x）的圖象，由圖象可求得符合條件的m的取值范圍，不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通過解方程可用m把x₁，x₂，x₃分別表示出來，即可求出得x₁+x₂+x₃的取值范圍

解答 解：作出函數f（x）的圖象如下圖所示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{x}}\\{y=|x-2|}\end{array}\right.$，解得A（4-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$-2），
由圖象可得，當直線y=m與f（x）圖象有三個交點時m的范圍為：0＜m＜2$\sqrt{3}$-2．
不妨設0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
則由2$\sqrt{{x}_{1}}$=m得x₁=$\frac{{m}^{2}}{4}$，由|x₂-2|=2-x₂=m，
得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，
得x₃=m+2，且2-m＞0，m+2＞0，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{{m}^{2}}{4}$+（2-m）+（2+m）=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，
當m=0時，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4有最小值為4，
當m=2$\sqrt{3}$-2時，$\frac{{m}^{2}}{4}$+4有最大8-2$\sqrt{3}$，
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是（4，8-2$\sqrt{3}$）
故答案為：（4，8-2$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查函數與方程的綜合運用，以及數形結合思想，綜合運用知識分析解決新問題的能力，屬于中檔題．