Question

8．如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1．
（1）證明EM⊥BF；
（2）請?jiān)趫D中作出平面ABC與平面BEF的交線（不要求證明）
（3）求平面BEF和平面ABC所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直得到線與線垂直，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到兩個(gè)三角形是等腰直角三角形，由線面垂直得到結(jié)果．
（2）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，則BG即為所求交線．
（3）過C作CH⊥BG，連接FH．做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答 解：（1）證明：∵EA⊥平面ABC，BM?平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM?平面ACFE，∴BM⊥EM．
∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，$\frac{FC}{EA}$=$\frac{1}{3}$，
∴FC⊥平面ABC．∴△EAM與△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF，
∵M(jìn)F∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．
而BF?平面MBF，∴EM⊥BF．
（2）延長EF交AC于G，連BG，則BG即為平面ABC與平面BEF的交線．
（3）過C作CH⊥BG，連接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG?平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．
∵FH?平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，
∴BM=AB•sin30°=$\sqrt{3}$，
由$\frac{FC}{EA}$=$\frac{GC}{GA}$=$\frac{1}{3}$，得GC=2．
∵BG=$\sqrt{B{M}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
又∵△GCH∽△GBM，
∴$\frac{GC}{BG}$=$\frac{CH}{BM}$，則CH=$\frac{GC•BM}{BG}$=$\frac{2•\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$=1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，
∴平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的能力，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．