Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若，求證：；

（2）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

（1）由題意知f′（x）＝ex，（x＞﹣a）．對(duì)a分類討論：當(dāng)a＝0時(shí)，可判斷顯然成立．當(dāng)0＜a≤1時(shí)，經(jīng)過(guò)分析得出f（x）的最小值為f（0），代入計(jì)算即可證明結(jié)論．

（2）等價(jià)于，利用進(jìn)行放縮，轉(zhuǎn)化為恒成立時(shí)的a的范圍，得到a<1,再去舉反例說(shuō)明時(shí)，不恒成立，即可得到a的范圍.

（1）由，得 .

當(dāng)，，顯然成立.

當(dāng)時(shí)，令 ，則，

故在為增函數(shù).

又，可知函數(shù)在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以函數(shù)在的最小值為，

且.

當(dāng)時(shí)，，，所以成立，

綜上當(dāng)，有成立.

（2）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以，

則有.

又因?yàn)?/span>，所以若，則有.

令 ，則，由，得.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故 ，

得.

當(dāng)時(shí)，存在，使得成立，

這與矛盾，所以，又，

綜上，即實(shí)數(shù)的取值范圍.