（本小題滿分12分）
如圖3，在正三棱柱
中，
AB=4，
,點
D是
BC的中點，
點
E在
AC上，且
DE
E。
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）求直線
AD和平面
所成角的正弦值。
（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）
（Ⅰ）如圖所示，由正三棱柱
的性質(zhì)知
平面
.
又
DE
平面
ABC，所以
DE
.而DE
E
，
,
所以
DE⊥平面
.又
DE平面
，
故平面
⊥平面
.
（Ⅱ）過點
A作
AF垂直
于點
,
連接
DF.由（Ⅰ）知，平面
⊥平面
，
所以
AF平面
,故
是直線
AD和
平面
所成的角。因為
DE，
所以
DEAC.而
ABC是邊長為4的正三角形，
于是
AD=
，
AE=4
-CE=4
-
=3.
又因為
，所以
E=
= 4,
,
.
即直線
AD和平面
所成角的正弦值為
。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖所示，四棱錐
的底面為直角梯形，
，
，
，
，
底面
，
為
的中點.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求直線
與平面
所成的角；
（Ⅲ）求點
到平面
的距離.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
四棱錐
中，底面
為矩形，側(cè)面
底面
，
，
，
。
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）設(shè)
與平面
所成的角為
，求二面角
的大小。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本題滿分12分）如圖，
ABCD是邊長為2的正方形，
ED⊥平面
ABCD，
ED＝1，
EF∥
BD且
EF＝
BD
（1）求證：
BF∥平面
ACE；（2）求二面角
B－
AF－
C的大小；
（3）求點
F到平面
ACE的距離．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖直棱柱ABC-A
1B
1C
1中AB=
,AC=3,BC=
,D是A
1C的中點E是側(cè)棱BB
1上的一動點。
(1)當E是BB
1的中點時，證明：DE//平面A
1B
1C
1；
(2)求
的值
(3)在棱 BB
1上是否存在點E,使二面角E-A
1C-C是直二面角？若存在求
的值，不存在則說明理由。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，已知三棱柱ABC－A
1B
1C
1的所有棱長都相等，且側(cè)棱垂直于底面，由
B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱C C
1到點A
1的最短路線長為
,設(shè)這條最短路線與CC
1的交
點為D．
（1）求三棱柱ABC－A
1B
1C
1的體積；
（2）在平面A
1BD內(nèi)是否存在過點D的直線與平面ABC平行？證明你的判斷；
（3）證明：平面A
1BD⊥平面A
1ABB
1．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
已知直角三角形的兩直角邊長分別為3cm和4cm，則以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為 。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
如圖，在正四棱臺內(nèi)，以小底為底面。大底面中心為頂點作一內(nèi)接棱錐. 已知棱臺小底面邊長為
b，大底面邊長為
a，并且棱臺的側(cè)面積與內(nèi)接棱錐的側(cè)面面積相等，求這個棱錐的高，并指出有解的條件．
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本小題共13分）
已知如圖(1)，正三角形
ABC的邊長為2
a,
CD是
AB邊上的高，
E、
F分別是
AC和
BC邊上的點，且滿足
，現(xiàn)將△
ABC沿
CD翻折成直二面角
A-
DC-
B,如圖（2）.
(Ⅰ) 試判斷翻折后直線
AB與平面
DEF的位置關(guān)系，并說明理由
；
(Ⅱ) 求二面角
B-
AC-
D的平面角的正切值.
圖（1） 圖（2）
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