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【題目】已知動點到點的距離與點到直線的距離的比值為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設為軌跡與軸正半軸的交點，上是否存在兩點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明滿足條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1） （2）存在，3個

【解析】

（1）設動點根據(jù)所給條件列出方程，化簡即可.

（2）由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設所在直線的方程為，不妨設，則直線所在的方程為. 聯(lián)立直線與曲線方程，消元即可求出點的坐標，求出的長，同理可得，再由得到方程，解得.

解：（1）設動點，則，

所以，

平方并化簡，得.

所以軌跡的方程為.

（2）存在. 理由如下：

由題意可知，直角邊不可能垂直或平行于軸，故可設所在直線的方程為，不妨設，則直線所在的方程為.

聯(lián)立方程消去，并整理得，

解得，

將代入可得，

所以點的坐標為.

所以.

同理可得，

由，得，

所以，則，解得或.

當斜率時，斜率；當斜率時，斜率；當斜率時，斜率.

綜上所述，符合條件的三角形有3個.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例．得到如下餅圖：

則下面結論中不正確的是

A. 新農村建設后，種植收入減少

B. 新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D. 新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長軸，長為4，過橢圓的右焦點作斜率為（）的直線交橢圓于、兩點，直線，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線，直線，分別與相交于、兩點，設為線段的中點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓上一點關于原點的對稱點為，為其右焦點，若，設，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，過且垂直于線段的直線交射線于點.

（Ⅰ）證明：點在定直線上；

（Ⅱ）當最大時，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校學生會開展了一次關于“垃圾分類”問卷調查的實踐活動，組織部分學生干部在幾個大型小區(qū)隨機抽取了共50名居民進行問卷調查.調查結束后，學生會對問卷結果進行了統(tǒng)計，并將其中一個問題“是否知道垃圾分類方法（知道或不知道）”的調查結果統(tǒng)計如下表：

年齡（歲）

頻數(shù)

14

12

8

6

知道的人數(shù)

3

4

8

7

3

2

（1）求上表中的的值，并補全右圖所示的的頻率直方圖；

（2）在被調查的居民中，若從年齡在的居民中各隨機選取1人參加垃圾分類知識講座，求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類方法的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列{an}滿足：，且a1=1，則稱{an}為一個X數(shù)列．對于一個X數(shù)列{an}，若數(shù)列{bn}滿足：b1=1，且，，則稱{bn}為{an}的伴隨數(shù)列．

（Ⅰ）若X數(shù)列{an}中a2=1，a3=0，a4=1，寫出其伴隨數(shù)列{bn}中b2，b3，b4的值；

（Ⅱ）若{an}為一個X數(shù)列，{bn}為{an}的伴隨數(shù)列，證明：“{an}為常數(shù)列”是“{bn}為等比數(shù)列”的充要條件.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調性；

(2)若有極值點，有兩個零點，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2019年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速公路免費政策”某路橋公司為掌握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了大年初三上午9:20~10:40這一時間段內通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)這一時間段內共有600輛車通過該收費點，它們通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如下圖所示，其中時間段9:20~9:40記作區(qū)間，9:40~10:00記作，10:00~10:20記作，10:20~10:40記作.例如：10點04分，記作時刻64.

（1）估計這600輛車在9:20~10:40時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；

（2）為了對數(shù)據(jù)進行分析，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這600輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中，在9:20~10:00之間通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

（3）由大數(shù)據(jù)分析可知，車輛在每天通過該收費點的時刻T服從正態(tài)分布，其中可用這600輛車在9:20~10:40之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表），已知大年初五全天共有1000輛車通過該收費點，估計在9:46~10:40之間通過的車輛數(shù)（結果保留到整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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