Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，過F₂的直線x+y-$\sqrt{3}$=0交C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
（1）求C的方程；
（2）在C上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知直線方程求得c值，再由“點(diǎn)差法”結(jié)合已知得到a²=2b²，結(jié)合隱含條件求得a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）求出過F₁與直線x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得使S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$的點(diǎn)P的坐標(biāo)，在驗(yàn)證直線x+y-$\sqrt{3}$=0的右上側(cè)橢圓上不存在滿足條件的P得答案．

解答 解：（1）由直線x+y-$\sqrt{3}$=0過F₂，取y=0，得x=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}=1$，
兩式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{^{2}}$，
化為$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$，則$\frac{{2b}^{2}}{{a}^{2}}=1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{{a}^{2}=2^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=6，b²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）如圖，由（1）可得，F(xiàn)₁（$-\sqrt{3}，0$），過F₁且與直線x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直線方程為y=-1×（x+$\sqrt{3}$），
即y=-x-$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
∴橢圓上的兩點(diǎn)P（0，-$\sqrt{3}$）、（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）滿足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$；
再設(shè)與直線x+y-$\sqrt{3}$=0平行的直線方程為x+y=m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，可得3x²-4mx+2m²-6=0，
由△=16m²-12（2m²-6）=72-8m²=0，解得m=±3，
當(dāng)m=3時(shí)，直線x+y=3與直線x+y-$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{|3-\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
而直線x+y+$\sqrt{3}=0$與直線x+y-$\sqrt{3}$=0的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$，$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}＜\sqrt{6}$，
∴直線x+y-$\sqrt{3}$=0的右上側(cè)，橢圓上不存在點(diǎn)P，滿足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$．
綜上，橢圓上的兩點(diǎn)P（0，-$\sqrt{3}$）、（$-\frac{4\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）滿足S_△PAB=S${\;}_{△{F}_{1}AB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)，訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”在解中點(diǎn)弦問題中的應(yīng)用，考查了兩平行線間距離公式的應(yīng)用，是中檔題．