Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，試比較當(dāng)時(shí)，與的大��；

（3）證明：對任意的正整數(shù)，不等式成立．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）若可導(dǎo)函數(shù)在指定的區(qū)間上單調(diào)遞增（減），求參數(shù)問題，可轉(zhuǎn)化為（或恒成立，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到；（2）對于恒成立的問題，常用到兩個(gè)結(jié)論：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值是多少，由時(shí)等式成立，推出時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化（差異），明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書寫.

試題解析：（1）∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù).

∴ 或在上恒成立

若在上恒成立，即函數(shù)是定義域上的單調(diào)地增函數(shù)，則在上恒成立，由此可得；

若在上恒成立，則在上恒成立.即在上恒成立.

∵在上沒有最小值

∴不存在實(shí)數(shù)使在上恒成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是. 4分

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù).

令

則

顯然，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減

又，所以，當(dāng)時(shí)，恒有，

即恒成立.

故當(dāng)時(shí)，有 8分

（3）數(shù)學(xué)歸納法

證明：1、當(dāng)時(shí)，左邊=，右邊=，原不等式成立。

2、設(shè)當(dāng)時(shí)，原不等式成立，

即

則當(dāng)時(shí)，

左邊=

只需證明

即證

即證

由（2）知

即

令，即有

所以當(dāng)時(shí)成立

由1、2知，原不等式成立

考點(diǎn)：1、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；2、恒成立的問題；3、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 試題屬性

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