Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn= an ．
（1）求a2 ， a3 ， 及{an}的通項(xiàng)公式．
（2）求{ }的前n項(xiàng)和Tn ， 并證明：1≤Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由S2= a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，

解得：a2=3a1=3；

由S3= a3得3（a1+a2+a3）=5a3，

解得：a3= （a1+a2）=6．

由題設(shè)知a1=1，

當(dāng)n＞1時(shí)有an=Sn﹣Sn﹣1= an﹣ an﹣1，

整理得：an= an﹣1．

于是a1=1，a2= a1，a3= a2，…，an﹣1= an﹣2，an= an﹣1，

將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理得an= ，

綜上，{an}的通項(xiàng)公式an=

（2）解：∵ = ，

∴Tn=2[ + +…+ ]=2（1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）=2（1﹣ ）=2﹣ ＜2，即Tn＜2，

又Tn+1＞Tn，{Tn}單調(diào)增，

∴Tn＞=T1=1，

則1≤Tn＜2

【解析】（1）根據(jù)已知等式確定出a2 ， a3 ， 得出{an}的通項(xiàng)公式即可；（2）表示出{ }的前n項(xiàng)和Tn ， 根據(jù)前n項(xiàng)和Tn為遞增數(shù)列，確定出Tn的范圍，即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．