Question

8．已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$的取值范圍為[2，$\sqrt{5}$）．

Answer 1

分析 設(shè)$\frac{a}$=$\frac{c}$=q，q＞0，則b=aq，c=aq²，a+aq＞aq²，aq+aq²＞a，a+aq²＞aq，由此能夠求出$\frac{a}$的取值范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍，

解答 解：a，b，c成等比數(shù)列，
設(shè)$\frac{a}$=$\frac{c}$=q，q＞0，
則b=aq，c=aq²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+aq＞a{q}^{2}}\\{aq+a{q}^{2}＞a}\\{a+a{q}^{2}＞aq}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}-q-1＜0}\\{{q}^{2}+q-1＞0}\\{{q}^{2}-q+1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜q＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
則$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{ab}$=$\frac{a}$+$\frac{a}$=$\frac{1}{q}$+q，
由f（q）=$\frac{1}{q}$+q在（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）遞減，在（1，$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）遞增，
可得f（1）取得最小值2，由f（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）=f（$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$）=$\sqrt{5}$，
即有f（q）∈[2，$\sqrt{5}$）．
故答案為：[2，$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角形三邊關(guān)系和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用．