Question

19．設函數f（x）=x²-2x+2，x∈[t，t+1]，t∈R，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 配方f（x）=（x-1）²+1，從而討論區(qū)間[t，t+1]和對稱軸x=1的關系：t+1≤1，t＜1＜t+1，t≥1，這樣根據二次函數f（x）的單調性及端點值和取得頂點情況，即可求出每種情況下的f（x）的值域．

解答 解：f（x）=（x-1）²+1；
①若t+1≤1，即t≤0，則f（x）在[t，t+1]上單調遞減；
∴f（t+1）≤f（x）≤f（t）；
∴t²+1≤f（x）≤t²-2t+2；
∴f（x）的值域為：[t²+1，t²-2t+2]；
②t＜1，且t+1＞1，即0＜t＜1時，f（x）≥1；
f（t）-f（t+1）=1-2t；
∴1）1-2t＞0，即$0＜t＜\frac{1}{2}$時，f（t）＞f（t+1）；
∴f（x）的最大值為f（t）=t²-2t+2；
∴f（x）的值域為：[1，t²-2t+2]；
2）1-2t≤0，即$\frac{1}{2}≤t＜1$時，f（t）≤f（t+1）；
∴f（x）的最大值為f（t+1）=t²+1；
∴f（x）的值域為：[1，t²+1]；
③t≥1時，f（x）在[t，t+1]上單調遞增；
∴f（t）≤f（x）≤f（t+1）；
∴f（x）的值域為：[t²-2t+2，t²+1]．

點評 考查函數值域的概念，配方求二次函數值域的方法，根據二次函數單調性及取得頂點情況求函數值域的方法．