Question

10．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+（m²-1）x²+x（x∈R）為奇函數(shù)，其中m＞0為常數(shù)．
（1）求m的值，并求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出m的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和到之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，
即m²-1=0，∵m＞0，∴解得m=1，
則f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x，
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-x²+1，
則f′（1）=0，f（1）=1-$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，即切線方程為y=$\frac{2}{3}$．
（2）∵f′（x）=-x²+1，
∴由f′（x）＞0解得-1＜x＜1，即增區(qū)間（-1，1），
由f′（x）＜0得x＞1或x＜-1，
即減區(qū)間（-∞，-1]，[1，+∞），
即當x=-1時，函數(shù)取得極小值f（-1）=-$\frac{2}{3}$．
x=1時，函數(shù)取得極大值f（1）=$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)單調(diào)性極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．