Question

4．2015年元旦聯(lián)歡晚會某師生一塊做游戲，數(shù)學老師制作了六張卡片放在盒子里，卡片上分別寫著六個函數(shù)：分別寫著六個函數(shù)：f₁（x）=x²+1，f₂（x）=x³，f₃（x）=$\frac{ln|x|}{x}$，f₄（x）=xcosx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=3-x．
（1）現(xiàn)在取兩張卡片，記事件A為“所得兩個函數(shù)的奇偶性相同”，求事件A的概率；
（2）從盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一張卡片上的函數(shù)是奇函數(shù)則停止抽取，否則繼續(xù)進行，記停止時抽取次數(shù)為ξ，寫出ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）由題意先判斷出f₂（x），f₃（x），f₄（x）是奇函數(shù)，f₁（x），f₅（x）是偶函數(shù)，f₆（x）為非奇非偶函數(shù)，由此能求出現(xiàn)在取兩張卡片，事件A為“所得兩個函數(shù)的奇偶性相同”的概率．
（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為1，2，3，4．分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列．

解答 解：（1）∵f₁（x）=x²+1，f₂（x）=x³，f₃（x）=$\frac{ln|x|}{x}$，f₄（x）=xcosx，f₅（x）=|sinx|，f₆（x）=3-x．
∴由題意可知，f₂（x），f₃（x），f₄（x）是奇函數(shù)，f₁（x），f₅（x）是偶函數(shù)，f₆（x）為非奇非偶函數(shù)．
現(xiàn)在取兩張卡片，記事件A為“所得兩個函數(shù)的奇偶性相同”，
∴$P（A）=\frac{C_3^2+C_2^2}{C_6^2}=\frac{4}{15}$．
（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為1，2，3，4．
$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1}{C_6^1}=\frac{1}{2}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^1C_5^1}=\frac{3}{10}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_3^1C_2^1C_3^1}{C_6^1C_5^1C_4^1}=\frac{3}{20}$，
$P（{ξ=4}）=\frac{C_3^1C_2^1C_3^1}{C_6^1C_5^1C_4^1C_3^1}=\frac{1}{20}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．