Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²+4x+4
（Ⅰ）若x∈[-4，a]，求f（x）的值域；
（Ⅱ）定義在[a，b]上的函數(shù)f（x），g（x）如果滿足，對任意x∈[a，b]，都有f（x）≤g（x）成立，則稱f（x）是g（x）在[a，b]上的弱函數(shù)，已知f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函數(shù)，求實數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的對稱軸，討論a，①當(dāng)-4＜a≤-2時，②當(dāng)-2＜a＜0時，③當(dāng)a≥0時，運用單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求值域；
（Ⅱ）f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函數(shù)，可得（x+a+2）²≤4x在1≤x≤t恒成立，由參數(shù)分離可得a+2≤2$\sqrt{x}$-x，運用配方和二次函數(shù)的值域求法，可得右邊的最小值，進(jìn)而得到a的范圍，可得a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x+2）²的對稱軸為x=-2，
①當(dāng)-4＜a≤-2時，f（x）遞減，
由f（-4）=4，f（a）=a²+4a+4，
即有f（x）的值域為[a²+4a+4，4）；
②當(dāng)-2＜a＜0時，f（-2）取得最小值0，f（-4）＞f（a），
即有f（x）的值域為[0，4]；
③當(dāng)a≥0時，f（-2）取得最小值0，f（-4）＜f（a），
即有f（x）的值域為[0，a²+4a+4]．
（Ⅱ）f（x+a）是g（x）=4x在x∈[1，t]上的弱函數(shù)，
可得（x+a+2）²≤4x在1≤x≤t恒成立，
即為x+a+2≤2$\sqrt{x}$，即a+2≤2$\sqrt{x}$-x，
由2$\sqrt{x}$-x=-（$\sqrt{x}$-1）²+1，
1≤x≤t，可得1≤$\sqrt{x}$≤t，
即有-（$\sqrt{x}$-1）²+1≥1-（t-1）²，
則a+2≤1-（t-1）²，
即有a+2≤1，即a≤-1．
則a的最大值為-1．

點評 本題考查二次函數(shù)的值域的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，同時考查新定義的理解和運用，不等式恒成立問題的求法，屬于中檔題．