Question

1．如圖，正方形ABCD與正方形ABEF邊長均為1，且平面ABCD⊥平面ABEF，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=α（0＜α＜$\sqrt{2}$）
（1）求MN的長度；
（2）當α為何值時，MN的長最小．

Answer 1

分析 （1）過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．運用平行線成比例可得PN∥AF，再由面面垂直的性質定理，可得AD⊥AF，根據勾股定理，我們易得MN²=MP²+PN²，可得MN的長度；
（2）由二次函數的性質，易得到MN的最小值．

解答 解：（1）過M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AP}{PB}$，$\frac{AM}{MC}$=$\frac{FN}{NB}$，∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{FN}{NB}$，
∴PN∥AF，
平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥AD，
可得AD⊥平面BF，即有AD⊥AF，
即有∠MPN=90°MP=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
由勾股定理知：MN²=MP²+PN²=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²
=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
則MN=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$（0＜a＜$\sqrt{2}$）；
（2）MN²=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
當a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，MN取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是空間中兩點之間的距離運算，關鍵是將空間兩點間的距離表示成a的函數，進而轉化成求函數最值的問題．