Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，都有f（x-2）=-f（x），且當(dāng)x∈[-2，0]，y∈R時，f（x+y）+f（x）=2x³-4（x+y）²，則y=f（x）在x=5處的切線方程為9x-y-26=0．

Answer 1

分析 將x換為x+2，可得f（x+4）=f（x），即有f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，即有f（5）=f（1）=-f（-1）=19，再由兩邊對x求導(dǎo)，可得f′（5）=f′（1）=-f′（-1）=9，再由直線的點斜式方程可得所求切線的方程．

解答 解：f（x-2）=-f（x），可得
f（x）=-f（x+2），即有f（x+4）=f（x），
令y=4，可得f（x+4）+f（x）=2x³-4（x+4）²，
即有f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，
即有f（5）=f（1）=-f（-1）=-（-1-2×9）=19，
由f（x+4）=f（x），求導(dǎo)可得f′（x+4）=f′（x），
f（x）=x³-2（x+4）²，x∈[-2，0]，可得
f′（x）=3x²-4（x+4），
即有f′（5）=f′（1），
f（x-2）=-f（x），兩邊求導(dǎo)，可得
f′（x-2）=-f′（x），
則f′（1）=-f′（-1）=-（3-4×3）=9，
即有y=f（x）在x=5處的切線斜率為9，
則y=f（x）在x=5處的切線方程為y-19=9（x-5），即為9x-y-26=0．
故答案為：9x-y-26=0．

點評 本題考查函數(shù)的周期性及運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．