Question

【題目】已知函數(shù)，其中且，設(shè)．

(Ⅰ)求函數(shù)的定義域，判斷的奇偶性，并說明理由；

(Ⅱ)若，求使成立的的集合．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 定義域為；為奇函數(shù)；(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ) 函數(shù)的定義域為定義域的交集，分別求出的定義域然后求交集即可求出的定義域；根據(jù)奇偶性的定義判斷的奇偶性即可.

(Ⅱ)因為，所以求出a=2，代入利用對數(shù)不等式的解法求使的的集合.

(1)∵f(x)＝loga(2＋x)的定義域為{x|x>－2}，

g(x)＝loga(2－x)的定義域為{x|x<2}，

∴h(x)＝f(x)－g(x)的定義域為{x|x>－2}∩{x|x<2}＝{x|－2<x<2}．

∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)，

∴h(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－h(x)，

∴h(x)為奇函數(shù)．

(2)∵f(2)＝loga(2＋2)＝loga4＝2，∴a＝2.

∴h(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)，

∴h(x)<0等價于log2(2＋x)<log2(2－x)，

∴ ，

解得－2<x<0.

故使h(x)<0成立的x的集合為{x|－2<x<0}．