Question

曲線y=ln（2x-1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是

 

．

Answer 1

分析：直線y=2x+3在曲線y=ln（2x+1）上方，把直線平行下移到與曲線相切，切點到直線2x-y+3=0的距離即為所求的最短距離．由直線2x-y+3=0的斜率，令曲線方程的導(dǎo)函數(shù)等于已知直線的斜率即可求出切點的橫坐標，把求出的橫坐標代入曲線方程即可求出切點的縱坐標，然后利用點到直線的距離公式求出切點到已知直線的距離即可．

解答：解：因為直線2x-y+3=0的斜率為2，
所以令y′=

2

2x-1

=2，解得：x=1，
把x=1代入曲線方程得：y=0，即曲線上過（1，0）的切線斜率為2，
則（1，0）到直線2x-y+3=0的距離d=

|2+3|

22+(-1)2

=

5

，
即曲線y=ln（2x-1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是

5

．
故答案為：

5

點評：在曲線上找出斜率和已知直線斜率相等的點的坐標是解本題的關(guān)鍵．同時要求學生掌握求導(dǎo)法則及點到直線的距離公式的運用．