Question

19．已知λ＞0，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），求證：直線AP必經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 由于$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$與∠BAC的平分線所在向量共線，再利用向量的三角形法則、向量共線定理即可證明．

解答 證明：∵λ＞0，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
而$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$與∠BAC的平分線所在向量共線，
∴直線AP必經(jīng)過△ABC的內(nèi)心．

點評 本題考查了向量的三角形法則、向量共線定理、角平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．