Question

7．已知矩形ABCD⊥平面BCE，且EB⊥BC，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，且EB=BC．
（1）求證：平面BDF⊥平面ECD；
（2）求證：AE∥平面BDF；
（3）求證：平面ADE與平面BCE的交線與BC平行．

Answer 1

分析 （1）證明BF⊥平面ECD，即可證明平面BDF⊥平面ECD；
（2）連接AC交BD于O，連接OF，利用已知ABCD是矩形得到OF∥AE，再由線面平行的判定定理可證；
（3）證明AD∥平面BCE，利用線面平行的性質(zhì)定理即可證明．

解答 證明：（1）∵矩形ABCD⊥平面BCE，DC⊥BC，
∴DC⊥平面BCE，
∵BF?平面BCE，
∴DC⊥BF，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，且EB=BC，
∴BF⊥CE，
∵DC∩CE=C，
∴BF⊥平面ECD，
∵BF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ECD；
（2）連接AC交BD于O，連接OF，如圖

在△ACE中，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，
∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF
∴AE∥平面BDF．
（3）∵AD∥BC，AD?平面BCE，BC?平面BCE，
∴AD∥平面BCE，
設(shè)平面ADE與平面BCE的交線為l，則AD∥l，
∵AD∥BC，
∴BC∥l．

點(diǎn)評 本題考查了空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系、線面平行和線面垂直的證明，考查了學(xué)生的空間想象能力、推理能力以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．