Question

12．求y=x|x-a|在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （2）當(dāng)a＞0時，求出函數(shù)f（x）=x|x-a|的表達(dá)式，即可求出在區(qū)間[0，1]上的最大值．

解答 解：由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
若a≤0，則函數(shù)y=f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，此時函數(shù)的最大值為f（1）=|1-a|=1-a，
如a＞0且0≤x≤1，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，
由${x}^{2}-ax=\frac{{a}^{2}}{4}，即x=（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
當(dāng)$\frac{a}{2}≥1$，即a≥2時，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=a-1；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜1＜（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a$，
即$2（\sqrt{2}-1）≤a＜2$時，f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上遞增，在[$\frac{a}{2}$，a]上遞減，
∴f（x）的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$；
當(dāng)$（\frac{1+\sqrt{2}}{2}）a＜1$，即$0＜a＜2（\sqrt{2}-1）$時，
f（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上遞增，在[$\frac{a}{2}$，a]上遞減，在[a，1]上遞增，
∴f（x）的最大值為f（1）=1-a．

點評 本題主要考查函最值的求解，以及分段函數(shù)的最值的求法，考查學(xué)生的運算能力．