Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍，并證明的極大值大于2．

Answer 1

【答案】（1）為(0,＋∞)上的減函數(shù)．（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，法1:結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；法2：令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最大值，判斷即可；（2）令h（x）=（-x2+3x-3）ex-a，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到h（x）=0有兩不等實(shí)數(shù)根x1，x2（x1＜x2），求出a的范圍，求出f（x）的極大值判斷即可．

（1）由題知．

方法1：由于，，，

又，所以，從而，

于是為(0,＋∞)上的減函數(shù)．

方法2：令，則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)．

則．由于，所以，

于是為(0,＋∞)上的減函數(shù)．

（2）令，則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，， 為減函數(shù)．

當(dāng)x趨近于時(shí)， 趨近于，

由于有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩不等實(shí)根，即有兩不等實(shí)數(shù)根（）．

則有解得．可知，

又，則，

當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，，單調(diào)遞減．

則函數(shù)在時(shí)取極小值，在時(shí)取極大值．

即，

而，即，

所以極大值．當(dāng)時(shí)，恒成立，

故為上的減函數(shù)，所以