Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有極大值M，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分、、三種情況討論導數(shù)的符號從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由(1)知只有當時函數(shù)有極大值，求出極大值M將不等式轉化為，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性證明成立即可.

（1）.

①當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

②當時，令，，，

則在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和單調(diào)遞減；

③當時，令，，恒成立，則在上單調(diào)遞減.

綜上，當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；

當時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間和單調(diào)遞減；

當時，在上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當時，在區(qū)間單調(diào)遞減；在區(qū)間單調(diào)遞增.

則函數(shù)沒有極大值，

當時，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)沒有極大值，

只有當時，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和單調(diào)遞減，，

要證明，即證：（），

令（），，

設，則（），，

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增，

∴當時，取得唯一的極小值，也是最小值.

的最小值是成立，

從而，（），即.