Question

15．設(shè)$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線，且$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$（a，b∈R）．
（1）若a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，問：a+b是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量三角形法則、向量共線定理即可得出．
（2）a+b為定值1，分析如下：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，可得$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，不妨設(shè)$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），再利用向量三角形法則可得：$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），整理與$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線，半徑即可得出．

解答 （1）證明：當(dāng)a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
所以$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$），
即2$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CA}$，
所以$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{CA}$，
所以A，B，C三點(diǎn)共線．
（2）解：a+b為定值1，證明如下：
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
不妨設(shè)$\overrightarrow{AC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（λ∈R），
所以$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$），即$\overrightarrow{OC}$=（1-λ）$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，
又$\overrightarrow{OC}$=a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共線，
由平面向量的基本定理，得$\left\{\begin{array}{l}{a=1-λ}\\{b=λ}\end{array}\right.$，
所以a+b=1（定值）．

點(diǎn)評 本題考查了向量共線定理、方程思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．