Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見證明

【解析】

(Ⅰ)先求的導(dǎo)數(shù)，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，可得的單調(diào)性；

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性，可得在上有一個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)在上有一個(gè)零點(diǎn)，可得，可得結(jié)論.

解：（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴至多有兩個(gè)零點(diǎn)

∵

∴

又∵

∴由零點(diǎn)定理知，在上有一個(gè)零點(diǎn)

又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)，取最小值

∵

∴ 設(shè)

則，故在上單調(diào)遞增

∴當(dāng)時(shí)，

∴

∴由零點(diǎn)定理知，在上有一個(gè)零點(diǎn)

∴有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且

∴，即

∴