Question

10．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）
（1）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增加的；
（2）若關(guān)于x的方程log₂（2^x-1）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，可證得結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，x∈[1，2]，可得m的取值范圍，即函數(shù)的值域．

解答 （1）證明：∵t=2^x+1為增函數(shù)，且t=2^x+1＞1恒成立，
y=log₂t為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（2）解：方程log₂（2^x-1）=m+f（x）可化為m=${log}_{2}（{2}^{x}-1）-{log}_{2}（{2}^{x}+1）$=${log}_{2}\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，
令g（x）=${log}_{2}（1-\frac{2}{{2}^{x}+1}）$，x∈[1，2]，則g（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時，g（x）取最小值${log}_{2}\frac{1}{3}$，當(dāng)x=2時，g（x）取最大值${log}_{2}\frac{3}{5}$，
故m∈[${log}_{2}\frac{1}{3}$，${log}_{2}\frac{3}{5}$]．

點評 本題考查的知識點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的值域，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．