Question

已知點(diǎn)A（－2,0），B（2,0），動點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin²θ=2

（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡Q是雙曲線；

（2）過點(diǎn)B的直線l與軌跡Q交于兩點(diǎn)．試問x軸上是否存在定點(diǎn)C，使為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解: （1）依題意，由余弦定理得：

,                           ……2分

即即

　　

．

,即．　　          …………4分

（當(dāng)動點(diǎn)與兩定點(diǎn)共線時(shí)也符合上述結(jié)論）

動點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn),實(shí)軸長為的雙曲線．

所以，軌跡Q的方程為．                               …………6分

（2）假設(shè)存在定點(diǎn),使為常數(shù)．

（1）當(dāng)直線 不與軸垂直時(shí)，

設(shè)直線的方程為,代入整理得:

．                              …………7分

由題意知，．

設(shè),,則,．        …………8分

于是，            …………9分

．                      …………11分

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)．   …12分

（2）當(dāng)直線 與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

當(dāng)時(shí)，．                        …13分

故在軸上存在定點(diǎn),使為常數(shù)．                  …………14分