Question

17．設(shè)n∈N₊，a，b∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x^n}$+b，己知曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-l．
（I）求a，b；
（Ⅱ）求f（x）的最大值；
（Ⅲ）設(shè)c＞0且c≠l，已知函數(shù)g（x）=log_cx-xⁿ至少有一個(gè)零點(diǎn)，求c的最大值．

Answer 1

分析 （I）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由切線方程可得a，b的值；
（Ⅱ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，即可得到最值；
（Ⅲ）函數(shù)g（x）=log_cx-xⁿ至少有一個(gè)零點(diǎn)．g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由題意可得存在x₀＞0，使g（x₀）=0，可得log_cx₀=x₀ⁿ，運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，由（Ⅱ）可得c的最大值．

解答 解：（I）函數(shù)f（x）=$\frac{alnx}{x^n}$+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a（1-nlnx）}{{x}^{n+1}}$，
在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=x-l，可得
f′（1）=a=1，
由f（x）過(guò)點(diǎn)（1，0），有f（1）=b=0，
則a=1，b=0；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，f′（x）=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$，
令f′（x）=0，可得1-nlnx=0，即x=${e}^{\frac{1}{n}}$，
當(dāng)0＜x＜${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當(dāng)x＞${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）在x=${e}^{\frac{1}{n}}$處取得最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$；
（Ⅲ）設(shè)c＞0且c≠l，
函數(shù)g（x）=log_cx-xⁿ至少有一個(gè)零點(diǎn)．
g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由題意可得存在x₀＞0，使g（x₀）=0．
可得log_cx₀=x₀ⁿ，由對(duì)數(shù)換底公式，可得$\frac{ln{x}_{0}}{lnc}$=x₀ⁿ，
即lnc=$\frac{ln{x}_{0}}{{{x}_{0}}^{n}}$，
由（Ⅱ）可得對(duì)x₀＞0，$\frac{ln{x}_{0}}{lnc}$≤$\frac{1}{ne}$，即lnc≤$\frac{1}{ne}$，
由于lnx遞增，可得c≤${e}^{\frac{1}{ne}}$，又c＞0且c≠1，
即有c的最大值為${e}^{\frac{1}{ne}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和對(duì)數(shù)換底公式，屬于中檔題．